7장. 관절 하나에 열 하나: 자코비안 바로 읽기와 특이점

자코비안의 열 하나는 관절 하나가 손끝에 보태는 속도다. 이 장은 관절 축과 "관절에서 손끝까지의 화살표"만 보고 자코비안을 바로 적는 법을 배운다. 그리고 손끝이 어떤 방향으로 못 가게 되는 자세(특이점)를 본다. 강의 7강(69분)에 해당한다.

7.1 6장에서 이어서: 열 하나 = 관절 하나

6장에서는 손끝 위치를 관절 각도로 편미분해 자코비안을 만들었다(6.3절). 종이 팔은 아래와 같았다. s₁ = sin θ₁, c₁₂ = cos(θ₁ + θ₂)처럼 줄여 쓴다.

6장에서 본 두 가지를 다시 떠올리자. 열 하나는 관절 하나가 손끝을 미는 속도였다. 그리고 첫 열 (−y, x)는 손끝 위치 (x, y)를 90° 돌린 화살표였다.

6장 뒷부분에서는 외적 ω × p와 속도 전파도 배웠다. 속도 전파로도 J가 나오지만, J는 긴 식 속에 숨어 있다(6.8절). 이 장의 질문은 이것이다. 로봇을 보기만 하고 자코비안의 열을 하나씩 바로 적을 수 있을까?

잠깐, 생각해 보기. 관절이 6개인 팔이면 자코비안의 열은 몇 개인가? 열 하나를 구할 때 다른 관절은 어떻게 둔다고 생각하면 되나?

열은 6개다. 관절 하나에 열 하나다. 열 i를 구할 때는 나머지 관절을 모두 얼려 두고 관절 i만 움직인다고 생각한다. 그러면 "관절 하나가 손끝을 어떻게 움직이나"라는 쉬운 질문 여섯 개가 된다.

영상에서 보기: 06:58 오늘은 자코비안을 눈으로 본다 · 08:32 관절 축마다 따져 본다

7.2 관절 하나가 손끝에 보태는 몫

관절 i만 움직이고 나머지는 얼렸다고 하자. 관절 i 뒤에 달린 것은 모두 한 덩어리처럼 함께 움직인다. 손끝 E도 그 덩어리에 붙어 있다. 관절은 두 종류뿐이니 두 경우만 보면 된다.

직동 관절: 미는 대로 간다

직동 관절은 축 z_i를 따라 미끄러진다. 늘어난 길이를 d_i, 그 빠르기를 ḋ_i라 하자. 관절 뒤의 덩어리 전체가 같은 속도로 미끄러지므로, 손끝도 똑같이 미끄러진다.

• 손끝 속도: v = z_i ḋ_i
• 손끝 각속도: ω = 0 (미끄러지기만 하고 돌지 않는다)

회전 관절: 축에서 손끝까지의 화살표가 필요하다

회전 관절은 축 z_i를 중심으로 θ̇_i의 빠르기로 돈다. 각속도는 z_i θ̇_i다. 덩어리 전체가 같이 돌므로 손끝도 같은 각속도로 돈다.

손끝의 선속도는 축에서 얼마나 떨어졌는지에 달렸다. 그래서 관절 i의 축 위 한 점(좌표계 {i}의 원점)에서 손끝 E까지 화살표를 긋고 p_iE라 부른다. 그리고 6장의 v = ω × p를 쓴다.

수학 더하기: 외적 다시 보기. a × b는 a와 b 모두에 수직인 벡터다. 방향은 오른손 네 손가락을 a에서 b 쪽으로 감을 때 엄지가 가리키는 쪽이다. 길이는 |a||b| sin φ다(φ는 둘 사이 각도).

칸으로는 a × b = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁)이다. 순서를 바꾸면 방향이 반대가 된다.

• 손끝 속도: v = (z_i × p_iE) θ̇_i
• 손끝 각속도: ω = z_i θ̇_i

잠깐, 생각해 보기. 축이 화면 밖을 보는 z = (0, 0, 1)이고, 손끝이 오른쪽 p = (1, 0, 0)에 있다. z × p와 p × z 가운데 어느 것이 손끝 속도인가?

z × p = (0·0 − 1·0, 1·1 − 0·0, 0·0 − 0·1) = (0, 1, 0)으로 위쪽이다. 축이 화면 밖을 보면 관절은 시계 반대 방향으로 돌고, 오른쪽에 있는 손끝은 위로 간다. 맞다.

p × z는 아래쪽이라 틀린다. 순서를 기억하는 말은 이것이다. 축이 앞, 화살표가 뒤다.

영상에서 보기: 09:34 회전 관절의 각속도 · 11:41 직동·회전 표 만들기 · 14:56 관절에서 손끝까지의 화살표 · 15:26 ω × p

7.3 열을 모으면 자코비안: 명시적 형태

이제 관절들의 몫을 모두 더한다. 관절이 동시에 움직이면 손끝 속도는 관절별 몫의 합이다. 관절 변수는 한꺼번에 q_i로 쓴다. 회전 관절이면 θ_i, 직동 관절이면 d_i다.

강의는 관절 종류를 숫자 ε_i로 표시한다. 직동이면 ε_i = 1, 회전이면 0이다. ε̄_i = 1 − ε_i는 그 반대다. 그러면 두 경우를 한 줄로 쓸 수 있다.

합에서 q̇_i 앞에 붙은 것이 바로 i번째 열이다. 자코비안을 위아래 두 덩어리로 나누어 적는다. 위는 선속도를 만드는 J_v, 아래는 각속도를 만드는 J_ω다.

이것을 자코비안의 명시적 형태(explicit form)라 한다. 3차원에서 v와 ω는 숫자가 3개씩이라 J는 6줄이다. 관절이 n개면 6 × n 행렬이다.

바로 나오는 두 가지

• 직동 관절만 있는 팔: J_v = [z₁ z₂ ⋯ z_n], J_ω = 0. 축을 늘어놓으면 끝이다. x, y, z로만 미끄러지는 3D 프린터가 이런 기계다.
• 회전 관절만 있는 팔: J_ω = [z₁ z₂ ⋯ z_n]. 각속도 쪽은 축만 늘어놓으면 된다.

잠깐, 생각해 보기. p_iE는 "축 위의 한 점"에서 긋는다. 축 위의 다른 점에서 그으면 열이 달라질까?

달라지지 않는다. 출발점을 축을 따라 옮기면 p_iE에 z_i 방향 성분만 더해진다. z_i × z_i = 0이라 그 성분은 외적에서 사라진다. 손끝 속도는 손끝이 축에서 떨어진 수직 거리만 본다.

알아 두기. 열 하나를 틀려도 다른 열에는 영향이 없다. 그래서 자코비안을 검산할 때는 열마다 "관절 i만 움직이면 손끝이 정말 이쪽으로 가나?"를 그림으로 확인한다. z × p 대신 p × z로 쓴 부호 실수가 이렇게 가장 잘 잡힌다.

영상에서 보기: 17:08 ε로 한 줄에 쓰기 · 22:01 선속도·각속도 두 덩어리 · 26:18 직동만, 회전만 있는 팔

7.4 종이 팔로 확인하기

종이 팔에 명시적 형태를 써 보자. 두 관절 모두 회전 관절이다. 축은 둘 다 책상 면에 수직으로 화면 밖을 본다. z₁ = z₂ = (0, 0, 1)이다.

화살표는 두 개다.

• p_1E: 어깨에서 손끝까지 = (x, y, 0). 어깨가 받침 원점에 있으니 손끝 위치 그대로다.
• p_2E: 팔꿈치에서 손끝까지 = (8c₁₂, 8s₁₂, 0). 링크 2 그 자체다.

평면에서는 z × p가 아주 쉽다. 외적 칸 공식에 z = (0, 0, 1), p = (a, b, 0)을 넣으면 (−b, a, 0)이다. (a, b)를 시계 반대 방향으로 90° 돌린 것이고, 길이는 그대로다. 6.3절의 첫 열 (−y, x)가 바로 이것이었다.

7.1절의 J와 열 하나하나가 똑같다. 미분하지 않고 화살표를 돌리기만 했는데 같은 답이 나왔다. 둘째 열도 팔꿈치에서 손끝까지의 화살표를 돌린 것이다. 슬라이더로 직접 확인해 보자.

해 볼 것 세 가지:

1. 기본값 θ₁ = 30°, θ₂ = 60°에서 J = [[−13.0, −8.0], [8.7, 0]]이다. 6.3절에서 미분으로 구한 값과 같다.
2. θ₁만 돌려 본다. 팔과 두 화살표가 통째로 함께 돈다. 두 화살표 사이의 모양은 그대로다.
3. θ₂를 0°로 가져가 본다. 두 화살표가 같은 쪽을 본다. 7.9절에서 다시 본다.

각속도 쪽까지 쓰면

J_ω의 두 열은 z₁, z₂ = (0, 0, 1)이다. 6줄을 다 쓰면 이렇다. 6.5절의 기본 자코비안(3 × 2)에 늘 0인 세 줄을 채운 것이다.

셋째 줄(v_z)과 넷째·다섯째 줄(ω_x, ω_y)은 늘 0이다. 팔이 책상 면을 떠나지 않고, 책상 면에 수직인 축으로만 돌기 때문이다. 마지막 줄은 손끝이 도는 빠르기가 θ̇₁ + θ̇₂라는 뜻이다. 1장에서 본 "링크 2의 방향은 θ₁ + θ₂"를 미분한 것이다.

알아 두기. 6.3절에서 본 대로 J_v 칸의 단위는 cm/rad다. J_ω 칸은 rad/s를 rad/s로 나눈 것이라 단위가 없다. 한 행렬 안에 단위가 다른 칸이 섞여 있으니, 자코비안의 "크기"를 따질 때는 위와 아래를 따로 보는 것이 안전하다.

영상에서 보기: 24:40 첫 관절이 회전이면 첫 열은? · 27:23 열은 z × p 아니면 z

7.5 3차원 팔: 돌림판 위의 종이 팔

명시적 형태가 진짜 쓸모 있는 곳은 3차원이다. 종이 팔을 책상에서 들어 올려 돌림판 위에 세워 보자. 관절이 3개가 된다.

• 관절 1, 돌림판: 축 z₁은 위를 본다. 팔이 놓인 세로 판을 통째로 돌린다.
• 관절 2, 어깨: 돌림판 한가운데, 높이 0에 있다고 둔다. 축 z₂는 수평이고 팔이 놓인 세로 판에 수직이다.
• 관절 3, 팔꿈치: 축 z₃은 z₂와 나란하다.

링크 길이는 그대로 10 cm, 8 cm다. 세로 판 안에서 보면 어깨와 팔꿈치는 종이 팔과 똑같이 움직인다.

그림에서 두 열을 읽어 보자.

1. 열 1 = z₁ × p_1E: 돌림판이 돌면 손끝은 수평 고리를 따라 돌고, 속도는 고리에 접하는 수평 방향이다. 크기는 손끝이 축에서 떨어진 수평 거리 r이다. p_1E의 높이 성분은 z₁과 나란해서 외적에서 사라진다. 7.3절에서 본 그대로다.
2. 열 3 = z₃ × p_3E: 팔꿈치만 돌면 손끝은 세로 판 안에서 팔뚝에 수직으로 움직인다. 종이 팔의 열 2와 같은 그림이다.

열 2(어깨)도 같은 방법으로 구한다. 각속도 쪽은 축만 늘어놓아 J_ω = [z₁ z₂ z₃]이다. 이 팔의 자코비안은 6 × 3이고, 손끝 위치 (x, y, z)를 만드는 J_v는 3 × 3이다.

잠깐, 생각해 보기. 손끝을 돌림판 축 바로 위로 가져가면(r = 0) 열 1은 어떻게 되나?

0이 된다. p_1E가 z₁과 나란해져 외적이 0이다. 돌림판을 아무리 돌려도 손끝은 제자리에서 방향만 바뀐다.

손끝 위치로 보면 관절 하나를 잃은 셈이다. 이런 자세가 7.9절의 특이점이다.

영상에서 보기: 37:21 지금까지 정리 · 42:00 z는 관절 축이다

7.6 숫자로 적기: 좌표계 {0}과 동차변환

명시적 형태는 화살표(벡터)로 쓴 식이다. 아직 "어느 좌표계의 숫자로 적는지"를 정하지 않았다. 숫자로 계산하려면 좌표계 하나를 고르고, 모든 z_i와 p_iE를 그 좌표계의 숫자로 적어야 한다. 외적도 같은 좌표계의 숫자끼리만 계산할 수 있다.

보통은 받침 좌표계 {0}을 고른다. 손끝이 책상 위에서 어디로 가는지를 받침 기준으로 알고 싶기 때문이다. 그러면 필요한 것은 두 가지다. 관절 축 ⁰z_i와 손끝 위치 ⁰P다.

축은 회전행렬의 셋째 열에 있다

z_i는 좌표계 {i}의 z축이다. 자기 좌표계에서 보면 언제나 (0, 0, 1)이다. 이것을 {0}의 숫자로 바꾸려면 회전행렬을 곱한다.

(0, 0, 1)을 곱하면 셋째 열만 뽑힌다. 2장의 "회전행렬의 열은 돌린 축이다"를 다시 쓴 것이다. 그러니 ⁰ᵢT를 알면 셋째 열 위 세 칸에서 ⁰z_i를 그냥 읽는다.

손끝 위치는 넷째 열에 있다

⁰ₙT의 넷째 열 위 세 칸은 손끝 위치 ⁰P = (x, y, z)다. 그러면 J_v는 두 가지로 구할 수 있다.

1. 열마다 ⁰z_i × ⁰p_iE를 계산한다. p_iE는 ⁰P에서 ⁰ᵢT의 넷째 열(관절 i 원점)을 뺀 것이다.
2. ⁰P를 q₁, q₂, …, q_n으로 하나씩 편미분한다. 6장의 방법이다. i번째 편미분이 i번째 열이다.

두 방법은 같은 답을 준다. 하나로 구하고 다른 하나로 검산하면 좋다.

곱하는 순서: 받침부터 바깥으로

순기구학을 계산할 때 곱하는 순서를 정해 두면 일이 준다. ⁰₁T에 ¹₂T를 곱해 ⁰₂T를 얻고, 거기에 ²₃T를 곱해 ⁰₃T를 얻는 식으로 받침 쪽부터 곱해 나간다.

이렇게 하면 중간 결과 ⁰₁T, ⁰₂T, …가 모두 {0}의 숫자로 남는다. 그 셋째 열이 곧 J_ω의 열이다. 바깥쪽부터 곱하면(¹₂T ²₃T부터) 마지막 답은 같지만 중간 결과가 {1}의 숫자라서 축을 다시 계산해야 한다.

알아 두기. J_v를 미분으로 구하는 것은 손끝 위치를 직교좌표 (x, y, z)로 적었을 때만 맞다(6.5절). 오일러 각을 미분한 것은 각속도 ω가 아니므로 J_ω는 미분으로 구하지 않는다. 축 z_i를 늘어놓는 명시적 형태가 고마운 까닭이 이것이다.

영상에서 보기: 28:58 어느 좌표계로 적나 · 30:03 위치를 미분해 J 구하기 · 35:45 z는 셋째 열 · 51:26 받침부터 곱한다

7.7 다른 좌표계로 옮기기

자코비안을 {0}이 아닌 좌표계로 적어야 할 때도 있다. 손에 단 카메라 기준으로 속도를 명령하거나, 식이 더 간단해지는 좌표계로 계산하고 싶을 때다. 옮기는 법은 간단하다.

J q̇가 주는 것은 v와 ω라는 두 화살표다. 둘 다 "어디에 있나"가 아니라 "어느 쪽이냐"다. 2장에서 본 대로 방향은 돌리기만 하면 된다. v는 v대로, ω는 ω대로 같은 회전행렬로 돌린다.

수학 더하기: 블록 행렬. 큰 행렬을 작은 행렬 덩어리로 나누어 쓴 것을 블록 행렬이라 한다. 위의 6 × 6 행렬은 3 × 3 회전행렬 두 개를 대각선에 놓고 나머지를 0으로 채운 것이다. 곱할 때는 덩어리를 숫자처럼 다룬다.

위 덩어리는 R J_v, 아래 덩어리는 R J_ω가 된다. 대각선 밖이 0이라 v와 ω가 섞이지 않는다.

종이 팔을 링크 1의 좌표계로

링크 1에 붙어 함께 도는 좌표계 {1}을 생각하자. x₁은 링크 1 방향이다. {1}의 축을 {0}으로 적은 회전행렬은 R(θ₁)이므로, 거꾸로 가려면 전치 R(θ₁)ᵀ를 곱한다(2장). 계산하면 θ₁이 모두 사라진다.

J_ω는 그대로다. 축 (0, 0, 1)은 z축으로 돌려도 (0, 0, 1)이기 때문이다.

잠깐, 생각해 보기. 그림 7-5에서 θ₁만 움직이면 ⁰J의 숫자는 바뀌는데 ¹J의 숫자는 그대로다. 왜 그럴까?

어깨를 돌리면 팔과 열 화살표, 그리고 {1}의 축이 한꺼번에 돈다. {1}에 서서 보면 아무것도 돌지 않았다. 링크 1에서 본 팔 모양은 팔꿈치 θ₂만 정한다. 그래서 ¹J에는 θ₂만 남는다.

¹J처럼 간단한 좌표계를 고르면 손 계산이 훨씬 쉬워진다. 7.9절에서 이 덕을 본다.

알아 두기. 여기서 바꾼 것은 "숫자를 적는 축"뿐이다. 속도를 재는 점(손끝 E)은 그대로다.

손목에서 잰 속도를 집게 끝에서 잰 속도로 바꾸는 것처럼 점을 옮기는 일은 다르다. 그때는 선속도에 ω × (두 점 사이 화살표)가 더해진다. 8강에서 다룬다.

영상에서 보기: 33:09 좌표계 사이의 관계

7.8 스탠퍼드 Scheinman 팔의 자코비안

이제 강의의 3차원 팔에 써 보자. 스탠퍼드 팔(Scheinman 팔)은 1969년 Victor Scheinman이 스탠퍼드에서 만든 6관절 팔이다. 관절은 이렇다.

점은 손목점 W로 잡는다

강의는 속도를 재는 점을 손목점 W로 잡는다. 손목의 세 축이 만나는 점이고, 좌표계 {3}~{6}의 원점이 모두 여기 있다. 이렇게 잡으면 자코비안이 아주 간단해진다. 7.2절의 표만 써서 열을 하나씩 채운다.

1. 관절 1 (회전): 위는 z₁ × p_1W, 아래는 z₁
2. 관절 2 (회전): 위는 z₂ × p_2W, 아래는 z₂
3. 관절 3 (직동): 위는 z₃, 아래는 0
4. 관절 4, 5, 6 (회전): 아래는 z₄, z₅, z₆. 위는 z_i × p_iW인데, 축이 W를 지나므로 p_iW = 0이다. 그래서 0이다.

손목 관절은 W를 옮기지 못하고 손 방향만 돌린다. 이 사실이 오른쪽 위의 0 덩어리로 그대로 나타난다. 강의에서 교수가 "이제 자코비안이 보이나?"라고 묻는 장면이 이것이다.

숫자로 채우기

6.4절에서 손목점 위치를 미분해 J_v는 이미 구했다. 이번에는 7.6절의 순서대로 축을 읽어 J_ω를 채우고, J_v는 명시적 형태로 맞춰 본다. 5장의 DH 표로 ⁰₁T, ¹₂T, …, ⁵₆T를 만들고 받침부터 곱해 나가며 셋째 열을 읽는다.

z₁은 받침의 세로축 그대로다. z₂는 수평이고 θ₁을 따라 돈다. z₃는 붐 방향이고, θ₄는 붐을 축으로 도니 z₄도 같은 방향이다. z₅와 z₆은 ⁰₅T, ⁰₆T의 셋째 열이며, θ₄, θ₅까지 들어가 식이 길어진다.

손목점 위치는 ⁰₃T의 넷째 열이고, ⁰₆T의 넷째 열과 똑같다. 원점이 같은 점이기 때문이다. 6.4절의 식과 같다.

6.4절에서 미분으로 구한 열을 명시적 형태와 맞춰 보자.

• 셋째 열: d₃로 미분한 (c₁s₂, s₁s₂, c₂)는 z₃와 같다. 직동 관절의 열은 축 그 자체라는 7.2절 결과와 맞는다. 강의에서 교수가 학생들과 함께 하는 검산이다.
• 첫째 열: z₁ × ⁰P_W = (−P_y, P_x, 0)이다. 6.4절의 (−y, x, 0)과 같다. 7.4절의 "90° 돌리기"가 3차원에서 수평면 위로 일어난 것이다.

둘째 열 z₂ × p_2W도 같다. 어깨 원점에서 W까지의 화살표는 붐 방향으로 d₃ z₃이라서, 열 = d₃ (z₂ × z₃)이다. 길이가 d₃인 까닭이 여기서도 보인다. 긴 식은 7.11절의 파이썬 코드가 숫자로 계산해, 위치를 미분한 값과 맞춰 본다.

알아 두기. 집게 끝 E를 속도 재는 점으로 잡으면 4, 5열의 위 칸이 0이 아니게 된다(문제 8). 그래도 W에서 구한 자코비안에서 출발해 점만 옮기면 된다(8강). 손 계산은 W를 고를 때 가장 쉽다.

영상에서 보기: 36:16 스탠퍼드 Scheinman 팔 · 38:54 빈 자코비안 채우기 · 47:14 순기구학과 자코비안을 한 번에 · 58:49 셋째 열 검산

7.9 특이점: 자코비안이 무너지는 자세

자코비안을 쓸 때 조심할 자세가 있다. 그 자세에서는 열들이 서로 기대어 버리고, 손끝이 어떤 방향으로는 아예 못 간다.

종이 팔의 det J

종이 팔의 J는 2 × 2 정사각 행렬이다. 행렬식(det)을 계산해 보자.

수학 더하기: 2 × 2 행렬식. [[a, b], [c, d]]의 행렬식은 det = ad − bc다. 두 열 (a, c)와 (b, d)로 만든 평행사변형의 넓이라는 뜻이 있다(부호 포함). 두 열이 같은 줄 위에 있으면 평행사변형이 납작해져 넓이가 0이다. 거꾸로 det ≠ 0이면 두 열을 섞어 평면의 모든 방향을 만들 수 있다.

마지막 단계는 sin(A − B) = sin A cos B − cos A sin B에 A = θ₁ + θ₂, B = θ₁을 넣은 것이다. 7.7절의 ¹J로 하면 더 빠르다. (−8s₂)(8c₂) − (−8s₂)(10 + 8c₂) = 80s₂로 같은 답이다.

det J = 10 × 8 × sin θ₂다. 어깨 각 θ₁은 들어 있지 않다.

θ₂ = 0°(쭉 편 팔)나 180°(다 접은 팔)에서 det J = 0이다. 이런 자세를 특이점(singularity)이라 한다. 정확히는 기구학적 특이점이다.

알아 두기. 좌표계를 바꿔도 det J는 같다. det(RJ) = det R × det J이고, 회전행렬은 det R = 1이기 때문이다. 그래서 특이점은 어느 좌표계에서 찾아도 같다. 식이 가장 간단한 좌표계를 골라 det를 계산하면 된다.

특이점에서 무슨 일이 생기나

팔을 쭉 펴면 p_1E와 p_2E가 같은 줄 위에 놓인다. 그러면 둘을 90° 돌린 두 열도 같은 줄(팔에 수직인 방향) 위에 놓인다. 어깨를 돌려도, 팔꿈치를 돌려도 손끝은 팔에 수직으로만 움직인다. 두 관절을 어떻게 섞어도 팔 방향의 속도는 0이다.

• (가) 쭉 편 팔: 손끝이 닿는 고리의 바깥 끝(18 cm)이다. 더 멀리 나갈 수 없으니 당연하다.
• (나) 다 접은 팔: 고리의 안쪽 끝(2 cm)이다. 이때는 받침 쪽으로도, 받침에서 멀어지는 쪽으로도 그 순간에는 움직이지 못한다.

정리하면 특이점에서는 열들이 서로 기대어 자코비안의 계수(rank)가 줄어든다. 종이 팔은 계수가 2에서 1로 준다. 손끝이 움직일 수 있는 방향이 평면 전체에서 한 줄로 줄었다는 뜻이다.

수학 더하기: 계수(rank). 행렬의 열 가운데 서로 기대지 않는 열의 최대 개수를 계수라 한다. "기대지 않는다"는 다른 열을 섞어서 만들 수 없다는 뜻이다. 정사각 행렬은 계수가 꽉 찼을 때만 det ≠ 0이다. 정사각이 아닌 자코비안은 det 대신 계수로 특이점을 판단한다.

관절이 6개인 스탠퍼드 팔의 J는 6 × 6이다. 보통은 계수가 6이고, 특이점에서 5 이하로 떨어진다.

잠깐, 생각해 보기. 7.4절의 6줄 자코비안은 θ₁ = θ₂ = 0°에서도 두 열이 비례하지 않는다. 열 1은 (0, 18, 0, 0, 0, 1), 열 2는 (0, 8, 0, 0, 0, 1)이다. 그런데 왜 특이점이라고 하나?

종이 팔에 시키는 일은 손끝 위치 (x, y) 두 개다(2장의 작업 좌표 m₀ = 2). 그래서 그 일에 쓰는 J_v의 x, y 두 줄만 본다. 그 2 × 2의 계수가 1로 떨어지니 위치로는 특이점이다. 손 방향까지 고르려면 평면에서도 관절이 3개 필요하다(2장).

영상에서 보기: 1:05:38 기구학적 특이점 · 1:06:38 팔을 쭉 펴면 · 1:07:09 두 열이 기댄다

7.10 특이점 가까이: 관절이 너무 빨리 돌아야 한다

특이점 바로 위만 문제가 아니다. 가까이 가기만 해도 문제가 생긴다.

손끝을 바깥으로 1 cm/s 밀려면

받침에서 손끝까지의 거리를 r이라 하자. 코사인 법칙으로 r² = 10² + 8² + 2·10·8 cos θ₂ = 164 + 160 cos θ₂다. r은 θ₂만으로 정해진다. 어깨는 팔을 통째로 돌릴 뿐 거리를 바꾸지 못한다.

양변을 시간으로 미분하면 2r ṙ = −160 sin θ₂ · θ̇₂다. 손끝을 받침에서 멀어지는 쪽으로 ṙ = 1 cm/s 보내려면, 팔꿈치는 이 빠르기로 돌아야 한다.

θ₂가 0°에 가까워지면 sin θ₂가 0으로 가고, 필요한 빠르기는 끝없이 커진다. 손끝은 겨우 1 cm/s로 움직이는데, θ₂ = 1°에서는 팔꿈치가 1초에 두 바퀴 넘게 돌아야 한다. 진짜 모터는 그렇게 못 돈다.

해 볼 것 세 가지:

1. θ₂ = 90° 근처에서는 타원이 통통하다. 손끝이 어느 방향으로나 비슷하게 움직일 수 있다.
2. θ₂를 0°로 천천히 내린다. 타원이 팔에 수직인 선분으로 납작해지고, det J 그래프의 점이 0으로 내려간다. 아래 숫자(필요한 팔꿈치 빠르기)는 폭발한다.
3. θ₂를 180°로 올려도 마찬가지다. 다 접은 팔의 특이점이다.

수학 더하기: 2 × 2 역행렬. [[a, b], [c, d]]의 역행렬은 (1/det) × [[d, −b], [−c, a]]다. 손끝 속도에서 관절 속도를 구할 때(θ̇ = J⁻¹ẋ) 이 1/det가 곱해진다. det가 0에 가까우면 아주 큰 수가 나온다. 이런 행렬을 "조건이 나쁘다"(ill-conditioned)고 한다.

종이 팔에 쓰면 아래와 같다. 앞에 붙은 1/(80 sin θ₂) 때문에 위 표의 숫자가 커진다.

알아 두기. 실제 로봇에서 특이점 근처의 손끝 속도 명령을 J⁻¹로 그대로 바꾸면 모터 속도 한계를 넘거나 팔이 덜컥거린다. 그래서 길을 짤 때 특이점을 비켜 가거나, 가까워지면 속도를 줄인다. 손끝 속도로 팔을 움직이는 방법(resolved-rate 제어)은 8장에서 다룬다.

스탠퍼드 팔의 특이점 미리 보기

7.8절의 스탠퍼드 팔 자코비안은 오른쪽 위가 0인 덩어리 모양이었다. 이런 행렬의 det는 왼쪽 위 3 × 3의 det와 오른쪽 아래 3 × 3의 det를 곱한 것이다. 계산하면 이렇다.

그래서 특이점은 세 가지다.

• d₃ = 0: 손목점이 어깨 축 위에 온다. 어깨를 돌려도 W가 움직이지 않는다.
• θ₂ = 0° 또는 180°: 붐이 똑바로 위나 아래를 보아 z₁과 나란해진다.
• θ₅ = 0° 또는 180°: 손목 축 z₄와 z₆이 한 줄이 된다. 손이 한 방향으로는 돌 수 없다.

교수는 다음 강의에 실제 스탠퍼드 팔을 가져와 손목 특이점을 보여 준다. 8장에서 자세히 본다.

영상에서 보기: 1:07:42 다음 시간: 손목 특이점 · 1:08:14 특이점 근처는 조건이 나쁘다

7.11 연습문제

종이에 화살표를 그리면서 푼다. 답은 문제 8개 아래에 있다.

1. 관절이 회전–직동–회전(RPR) 순서인 팔이 있다. 손끝 점은 E다. J_v와 J_ω의 세 열을 z_i와 p_iE로 적어라.
2. 종이 팔이 θ₁ = 60°, θ₂ = 30°에 있다.
   1. p_1E와 p_2E를 구하라.
   2. 두 화살표를 90° 돌려 J를 만들어라.
   3. 7.1절의 미분 꼴에 각도를 넣은 값과 비교하라.
   4. det J를 구하라.
3. 문제 2의 자세에서 θ̇₁ = 0.3 rad/s, θ̇₂ = 0.1 rad/s로 돌린다. 손끝 속도 (v_x, v_y)와 손끝 각속도 ω_z는?
4. 문제 2의 J를 링크 1 좌표계 {1}로 옮겨라. 7.7절의 ¹J_v 식에 θ₂ = 30°를 넣은 값과 같은지, det도 같은지 확인하라.
5. 돌림판 종이 팔(7.5절)이 θ₁ = 0°, θ₂ = 0°, θ₃ = 90°에 있다. 링크 1은 x₀ 방향으로 누워 있고 팔뚝은 똑바로 위를 본다. 이때 어깨·팔꿈치 축은 z₂ = z₃ = (0, −1, 0)이다. J_v와 J_ω, det J_v를 구하라.
6. 종이 팔이 θ₁ = 0°, θ₂ = 180°(다 접은 자세)에 있다. J를 구하고, 손끝이 움직일 수 없는 방향을 말하라.
7. θ₁ = 0°에서 손끝을 받침에서 멀어지는 쪽으로 1 cm/s 보내려 한다. θ₂ = 30°일 때와 3°일 때 필요한 관절 속도 θ̇ = J⁻¹ẋ를 구하라. 팔꿈치 빠르기는 몇 배가 되나?
8. 스탠퍼드 팔에서 속도를 재는 점을 W가 아니라 집게 끝 E로 바꾼다. E는 z₆ 축 위, W에서 10 cm 앞에 있다. J_v의 4, 5, 6열 가운데 여전히 0인 열은?

답

답 1. 7.2절의 표대로 관절마다 한 열씩 적는다. 직동인 관절 2는 선속도에 z₂만 보태고 각속도에는 아무것도 보태지 않는다.

답 2.

1. 손끝 = 10(cos 60°, sin 60°) + 8(cos 90°, sin 90°) = (5, 8.66) + (0, 8) = (5, 16.66)이다. 어깨가 원점이라 p_1E = (5, 16.66)이다. 팔꿈치는 (5, 8.66)이므로 p_2E = (0, 8)이다.
2. (a, b)를 (−b, a)로 돌린다. 열 1 = (−16.66, 5), 열 2 = (−8, 0)이다.
3. 미분 꼴: −10 sin 60° − 8 sin 90° = −16.66, 10 cos 60° + 8 cos 90° = 5, −8 sin 90° = −8, 8 cos 90° = 0. 같다.
4. det J = (−16.66)(0) − (−8)(5) = 40이다. 80 sin 30° = 40과 맞는다.

답 3. 열을 섞는다. v = 0.3 × (−16.66, 5) + 0.1 × (−8, 0) = (−5.00 − 0.80, 1.50) = (−5.80, 1.50) cm/s다. 각속도는 J_ω의 마지막 줄 (1, 1)로 ω_z = 0.3 + 0.1 = 0.4 rad/s다. 손끝 방향이 시계 반대 방향으로 돈다.

답 4. R(60°)ᵀ = [[0.5, 0.866], [−0.866, 0.5]]를 곱한다.

• 열 1: (0.5 × (−16.66) + 0.866 × 5, −0.866 × (−16.66) + 0.5 × 5) = (−4.00, 16.93)
• 열 2: (0.5 × (−8), −0.866 × (−8)) = (−4.00, 6.93)

식으로는 −8 sin 30° = −4, 10 + 8 cos 30° = 16.93, 8 cos 30° = 6.93이다. 같다. det = (−4)(6.93) − (−4)(16.93) = 40으로 {0}에서와 같다.

답 5. 손끝 E = (10, 0, 8), 팔꿈치 = (10, 0, 0)이다. 돌림판 축과 어깨 축은 원점을 지난다.

• 열 1: z₁ × p_1E = (0, 0, 1) × (10, 0, 8) = (0, 10, 0). 돌림판을 돌리면 손끝이 y₀ 쪽으로 간다. 높이 8은 사라졌다.
• 열 2: z₂ × p_2E = (0, −1, 0) × (10, 0, 8) = (−8, 0, 10). 어깨를 들면 손끝이 뒤로 8, 위로 10의 비율로 움직인다.
• 열 3: z₃ × p_3E = (0, −1, 0) × (0, 0, 8) = (−8, 0, 0). 팔꿈치를 돌리면 위를 보던 팔뚝이 뒤로 눕는다.

det J_v = −800이라 특이점이 아니다. 아무 자세에서나 계산하면 det J_v = −80 r sin θ₃이다. r = 10 cos θ₂ + 8 cos(θ₂ + θ₃)는 손끝에서 돌림판 축까지의 수평 거리다. θ₃ = 0°, 180°(종이 팔과 같은 특이점)와 r = 0(7.5절의 손끝이 축 위)에서 0이 된다.

답 6. 손끝 = (10 − 8, 0) = (2, 0)이다. p_1E = (2, 0)을 돌리면 열 1 = (0, 2), p_2E = (−8, 0)을 돌리면 열 2 = (0, −8)이다.

첫 줄이 모두 0이라 v_x를 만들 수 없다. 손끝은 x 방향(팔이 놓인 방향)으로 그 순간 움직이지 못하고, y 방향으로만 갈 수 있다.

답 7. θ₂ = 30°에서 손끝은 (10 + 8 cos 30°, 8 sin 30°) = (16.93, 4.0), r = 17.39다. 바깥 방향 단위벡터 (0.973, 0.230)을 ẋ로 놓고 J⁻¹을 곱하면 θ̇ = (0.19, −0.43) rad/s다. θ₂ = 3°에서는 θ̇ = (1.91, −4.30) rad/s다.

팔꿈치 빠르기가 약 10배(4.30 ÷ 0.43)가 된다. 각도가 10분의 1이 되면서 sin θ₂도 거의 10분의 1이 되었기 때문이다. 팔꿈치 값이 음수인 것은 팔을 펴는 쪽(θ₂를 줄이는 쪽)으로 돈다는 뜻이다.

답 8. 6열만 0이다. 6열의 위 칸은 z₆ × p_6E인데, p_6E가 z₆ 축 위에 놓여 z₆과 나란하므로 0이다.

4, 5열은 z₄ × p_4E, z₅ × p_5E로 보통 0이 아니다. 손목을 꺾으면 집게 끝이 움직이기 때문이다. J_ω는 점과 상관없이 그대로다.

파이썬으로 확인

파이썬(numpy)이 있으면 아래를 붙여 넣어 돌려 본다. 주석의 값이 그대로 나온다. 명시적 형태(z × p)로 만든 자코비안을 미분 꼴과 맞춰 보고, 스탠퍼드 팔은 위치를 조금씩 움직여 잰 미분값과 맞춰 본다.

import numpy as np

np.set_printoptions(precision=2, suppress=True)
D = np.pi / 180

def jacobian_explicit(kinds, axes, points, E):
    """명시적 형태: 회전 관절 열 = [z × p ; z], 직동 관절 열 = [z ; 0].
    points[i]는 관절 i의 축 위 한 점, p = E - points[i]."""
    cols = []
    for k, z, o in zip(kinds, axes, points):
        z = np.asarray(z, float)
        if k == 'R':
            cols.append(np.r_[np.cross(z, E - o), z])
        else:
            cols.append(np.r_[z, 0, 0, 0])
    return np.array(cols).T

def rot_z(deg):
    c, s = np.cos(deg * D), np.sin(deg * D)
    return np.array([[c, -s, 0], [s, c, 0], [0, 0, 1]])

def paper_arm(t1, t2):
    """종이 팔의 팔꿈치와 손끝 (z = 0인 3차원 점)."""
    elbow = np.array([10 * np.cos(t1 * D), 10 * np.sin(t1 * D), 0])
    hand = elbow + [8 * np.cos((t1 + t2) * D), 8 * np.sin((t1 + t2) * D), 0]
    return elbow, hand

def paper_J(t1, t2):
    """명시적 형태로 만든 종이 팔 자코비안 (6 × 2)."""
    elbow, hand = paper_arm(t1, t2)
    z = [0, 0, 1]
    return jacobian_explicit('RR', [z, z], [np.zeros(3), elbow], hand)

def paper_J_diff(t1, t2):
    """6장: 손끝 위치를 미분한 꼴 (2 × 2)."""
    s1, c1 = np.sin(t1 * D), np.cos(t1 * D)
    s12, c12 = np.sin((t1 + t2) * D), np.cos((t1 + t2) * D)
    return np.array([[-10 * s1 - 8 * s12, -8 * s12], [10 * c1 + 8 * c12, 8 * c12]])

# 7.4: 그림 7-2의 처음 자세 (6.3절과 같은 값)
print(paper_J(30, 60)[:2])                  # [[-13.    -8.  ] [  8.66   0.  ]]
# 문제 2: 두 방법이 같다
J = paper_J(60, 30)
print(J.T)                                  # [[-16.66   5.     0.     0.     0.     1.  ] [ -8.     0.     0.     0.     0.     1.  ]]
print(paper_J_diff(60, 30))                 # [[-16.66  -8.  ] [  5.     0.  ]]
print(round(np.linalg.det(J[:2]), 2))       # 40.0  (= 80 sin 30°)
# 문제 3: 열을 섞는다
print(J @ [0.3, 0.1])                       # [-5.8  1.5  0.   0.   0.   0.4]
# 7.7, 문제 4: {1}로 옮기기 [[R, 0], [0, R]]
R10, Z = rot_z(60).T, np.zeros((3, 3))
J1 = np.block([[R10, Z], [Z, R10]]) @ J
print(J1[:2])                               # [[-4.   -4.  ] [16.93  6.93]]
print(round(np.linalg.det(J1[:2]), 2))      # 40.0
# 7.9: det J = 80 sin θ2, θ1과 상관없다
print([float(round(np.linalg.det(paper_J(t1, 45)[:2]), 2)) for t1 in (0, 70, -120)])  # [56.57, 56.57, 56.57]
# 문제 6: 다 접은 팔
print(np.round(paper_J(0, 180)[:2], 6) + 0.0)   # [[ 0.  0.] [ 2. -8.]]
# 문제 7: 특이점 가까이, 바깥으로 1 cm/s
for t2 in (30, 3):
    _, hand = paper_arm(0, t2)
    out = hand[:2] / np.linalg.norm(hand[:2])
    print(t2, np.linalg.solve(paper_J(0, t2)[:2], out))   # 30 [ 0.19 -0.43]  /  3 [ 1.91 -4.3 ]

# 문제 5: 돌림판 종이 팔 (θ1, θ2, θ3) = (0°, 0°, 90°)
z1, z2 = [0, 0, 1], [0, -1, 0]
O, elbow, hand = np.zeros(3), np.array([10.0, 0, 0]), np.array([10.0, 0, 8])
Jt = jacobian_explicit('RRR', [z1, z2, z2], [O, O, elbow], hand)
print(Jt)                                   # [[ 0. -8. -8.] [10.  0.  0.] [ 0. 10.  0.] [ 0.  0.  0.] [ 0. -1. -1.] [ 1.  0.  0.]]
print(round(np.linalg.det(Jt[:3]), 2))      # -800.0

# 7.8: 스탠퍼드 팔. T를 받침부터 곱하며 셋째 열(z)과 넷째 열(원점)을 모은다
def dh(alpha, a, d, theta):
    ca, sa, ct, st = np.cos(alpha * D), np.sin(alpha * D), np.cos(theta * D), np.sin(theta * D)
    return np.array([[ct, -st, 0, a], [st * ca, ct * ca, -sa, -sa * d],
                     [st * sa, ct * sa, ca, ca * d], [0, 0, 0, 1]])

def stanford(q, d2=15):
    t1, t2, d3, t4, t5, t6 = q
    rows = [(0, 0, 0, t1), (-90, 0, d2, t2), (90, 0, d3, 0),
            (0, 0, 0, t4), (-90, 0, 0, t5), (90, 0, 0, t6)]
    T, Ts = np.eye(4), []
    for r in rows:
        T = T @ dh(*r)                      # 0→1, 0→2, 0→3, ... 차례로
        Ts.append(T)
    return Ts

q = np.array([30, 50, 40, 20, 60, 10.0])   # 각도는 도, d3는 cm
Ts = stanford(q)
W = Ts[-1][:3, 3]                           # 손목점 = 넷째 열
Js = jacobian_explicit('RRPRRR', [T[:3, 2] for T in Ts], [T[:3, 3] for T in Ts], W)
print(np.round(Js[:3, 3:], 6) + 0.0)        # [[0. 0. 0.] [0. 0. 0.] [0. 0. 0.]]  손목은 W를 못 옮긴다
num = np.zeros((3, 6))
for i in range(6):                          # 위치를 조금씩 움직여 잰 미분
    h = 1e-6 if i == 2 else 1e-6 / D
    dq = np.zeros(6); dq[i] = h
    num[:, i] = (stanford(q + dq)[-1][:3, 3] - W) / 1e-6
print(np.allclose(Js[:3], num, atol=1e-4))  # True
print(round(np.linalg.det(Js), 2), round(40**2 * np.sin(50 * D) * np.sin(60 * D), 2))  # 1061.46 1061.46

스탠퍼드 숙제

스탠퍼드 강의 페이지의 Homework 3을 이 장으로 마저 푼다. 1번은 6장으로도 풀 수 있지만, 변환행렬의 셋째 열(축)과 넷째 열(위치)을 읽는 7.6절 방법으로 다시 풀어 보면 좋다. 2번 (c)는 7.9절의 특이점이다.

3번은 (a)(b)가 4~5장의 DH 표와 순기구학이고, (c)가 7.6절, (d)가 7.7절, (e)(f)가 7.9절이다. 풀이는 같은 페이지의 Solution 3에 있다.

다 풀었으면 7강 영상을 한 번 본다.