6장. 관절 속도에서 손끝 속도로: 자코비안

관절을 조금 돌리면 손끝은 어느 쪽으로 얼마나 움직일까? 이 장은 그 답인 자코비안을 종이 팔로 직접 만들고, 링크에서 링크로 속도를 넘겨 같은 답을 한 번 더 얻는다. 강의 6강(71분)에 해당한다.

6.1 위치에서 속도로

4~5장에서는 관절 각도로 손끝의 위치와 방향을 구했다(순기구학). 이 장은 팔이 움직이는 순간을 본다. 관절이 조금 돌면 손끝도 조금 움직인다. 이 둘의 관계를 다루는 것을 순간 기구학(instantaneous kinematics)이라 한다.

종이 팔로 생각해 보자. 지금 자세가 θ₁ = 30°, θ₂ = 60°다. 두 관절을 1°씩 더 돌리면 손끝은 왼쪽 위로 약 0.4 cm 간다. 관절의 작은 변화를 δθ(델타 세타), 손끝의 작은 변화를 δx라 쓴다.

변화가 아주 작으면 둘 사이는 선형(linear) 관계다. δθ를 두 배로 하면 δx도 두 배가 된다. 관절마다 낸 몫은 그냥 더하면 된다.

이런 관계는 행렬 하나로 적는다. 그 행렬이 1장에서 이름만 들은 자코비안(Jacobian) J다.

J 뒤의 (θ)는 "지금 자세에 따라 숫자가 달라진다"는 뜻이다. 양변을 아주 짧은 시간 δt로 나누면 속도끼리의 관계가 된다. 글자 위의 점은 시간에 대한 변화율, 곧 속도다.

잠깐, 생각해 보기. 작은 변화에도, 속도에도 같은 J를 쓰는 까닭은 무엇일까?

속도는 "짧은 시간 동안의 작은 변화 ÷ 그 시간"이다. δx = J δθ의 양변을 같은 δt로 나누어도 J는 그대로다. 그래서 "1°씩 더 돌리면"과 "초당 1°씩 돌리면"은 같은 표로 답한다.

손끝의 움직임은 두 가지

3차원에서 손끝은 위치와 방향을 가진다(2장). 그래서 손끝의 움직임도 두 가지로 적는다.

• 선속도(linear velocity) v: 손끝의 한 점이 어느 쪽으로 얼마나 빨리 가나. 숫자 3개다.
• 각속도(angular velocity) ω: 손끝이 어느 축으로 얼마나 빨리 도나. 숫자 3개다.

둘을 합치면 숫자 6개다. 관절이 n개면 J는 6×n 행렬이 된다. 이 장은 먼저 위치(선속도)만으로 J를 만들고, 6.5절에서 방향을 더한다.

관절 변수 q

관절은 돌거나 미끄러진다(2.1절). 회전 관절이 움직이는 양은 각도 θ_i, 직동 관절이 움직이는 양은 길이 d_i다. 둘을 함께 관절 변수 q_i로 부른다.

강의는 표시 ε_i로 둘을 한 식에 담는다. ε_i는 회전 관절이면 0, 직동 관절이면 1이다.

관절 변수를 모은 q = (q₁, …, q_n)이 2장의 일반화 좌표다. 종이 팔은 두 관절이 모두 회전 관절이라 q = (θ₁, θ₂)다.

강의는 Mark Yim의 모듈 로봇 Polypod 영상(1994)으로 시작한다. 본론은 5분 43초부터다.

영상에서 보기: 05:43 순간 기구학 시작 · 06:46 작은 변위 δθ와 δx · 08:19 같은 행렬이 속도도 잇는다 · 12:02 관절 변수 q

6.2 편미분으로 자코비안 만들기

J의 칸을 채우는 가장 곧은 길은 순기구학 식을 미분하는 것이다. 손끝 좌표가 관절 변수의 함수라는 것은 이미 안다. 각 좌표가 각 관절에 얼마나 민감한지를 하나씩 재면 된다.

수학 더하기: 미분. 함수 f(θ)의 미분(derivative)은 "θ를 아주 조금 바꿀 때 f가 그 몇 배만큼 바뀌나"다. df/dθ로 쓴다. f = 3θ이면 θ가 δ만큼 늘 때 f는 3δ만큼 늘어서 df/dθ = 3이다.

이 장에서 쓰는 규칙은 넷뿐이다. (1) sin θ를 미분하면 cos θ, (2) cos θ를 미분하면 −sin θ, (3) 앞에 곱한 숫자는 그대로 둔다(10 cos θ → −10 sin θ), (4) 더한 식은 따로 미분해서 더한다. (1)과 (2)는 각도를 라디안으로 잴 때만 맞는다.

손끝 좌표는 관절 변수 여러 개의 함수다. 그래서 미분도 관절마다 따로 한다.

수학 더하기: 편미분. 변수가 여럿인 함수에서, 하나만 조금 바꾸고 나머지는 그대로 둘 때의 변화율을 편미분(partial derivative)이라 한다. ∂f/∂a처럼 둥근 ∂로 쓴다. 그대로 두는 변수는 그냥 숫자로 보고 미분한다.

그림 6-2의 직사각형은 넓이가 A = a × b다. 가로만 δa 늘리면 넓이는 b × δa 늘어나므로 ∂A/∂a = b = 3이다. 세로만 늘리면 ∂A/∂b = a = 4다.

둘 다 조금씩 늘리면 δA ≈ 3 δa + 4 δb다. 몫을 따로 구해 더하면 된다.

종이 팔 식에 나오는 cos(θ₁ + θ₂)를 θ₁로 편미분하면 −sin(θ₁ + θ₂)다. θ₂는 숫자로 보기 때문이다.

식 m개, 변수 n개

손끝 좌표가 x₁, …, x_m으로 m개이고, 각각 관절 변수 n개의 함수 x_i = f_i(q)라 하자. 관절이 모두 조금씩 움직이면, 좌표마다 관절별 몫을 더한다. 직사각형의 δA ≈ 3 δa + 4 δb와 같은 모양이다.

이 m개의 식을 매번 적기는 번거롭다. δq의 계수만 모아 표로 만들면 행렬 하나가 된다.

i행 j열 칸은 J_ij = ∂f_i/∂q_j다. 행은 손끝 좌표, 열은 관절이라서 J는 m×n 행렬이다.

강의에서 교수는 "첫 열은 어디 있나?"라고 묻는다. 모든 식에서 δq₁ 앞에 붙은 계수를 위에서 아래로 모은 것이 첫 열이다.

영상에서 보기: 13:03 순기구학 식을 미분한다 · 14:44 식 m개, 변수 n개 · 15:51 첫 열은 무엇인가

6.3 종이 팔의 자코비안

강의 예제와 같은 2관절 평면 팔이다. 강의는 링크 길이를 l₁, l₂로 두지만, 여기서는 종이 팔의 10 cm, 8 cm를 넣는다. 손끝 위치 (x, y)만 보므로 m = 2, n = 2다.

식을 짧게 쓰려고 s₁ = sin θ₁, c₁ = cos θ₁, s₁₂ = sin(θ₁ + θ₂), c₁₂ = cos(θ₁ + θ₂)로 줄여 쓴다. 이 줄임은 교재와 강의에서 계속 쓴다.

네 칸을 하나씩

1. ∂x/∂θ₁: θ₂는 숫자로 본다. c₁ → −s₁, c₁₂ → −s₁₂이므로 −10s₁ − 8s₁₂다.
2. ∂x/∂θ₂: 10c₁에는 θ₂가 없어서 0이다. c₁₂ → −s₁₂이므로 −8s₁₂다.
3. ∂y/∂θ₁: s₁ → c₁, s₁₂ → c₁₂이므로 10c₁ + 8c₁₂다.
4. ∂y/∂θ₂: 10s₁은 0이 되고 8c₁₂만 남는다.

열 하나 = 관절 하나

2.5절에서 행렬 × 벡터는 "벡터의 숫자만큼 열을 섞어 더하기"였다. 그래서 ẋ = J θ̇를 열로 풀어 쓸 수 있다.

첫 열은 어깨만 1 rad/s로 돌 때의 손끝 속도다. 둘째 열은 팔꿈치만 1 rad/s로 돌 때의 손끝 속도다. 자코비안의 열 하나는 관절 하나가 손끝을 미는 속도다. 손끝 속도는 그 둘을 관절 속도만큼 섞어 더한 것이다.

해 볼 것 세 가지:

1. θ̇₁ = 1, θ̇₂ = 0으로 둔다. 파란 화살표가 J의 첫 열 그대로다. 어깨를 중심으로 손끝을 지나는 원(파란 점선)의 접선 방향이다.
2. θ̇₁ = 0, θ̇₂ = 1로 둔다. 주황 화살표가 둘째 열이다. 팔꿈치를 중심으로 한 반지름 8 cm 원의 접선이고, 길이는 언제나 8이다.
3. θ₂ = 0°로 팔을 쭉 편다. 두 화살표가 한 줄에 겹친다. 어떻게 섞어도 손끝을 팔 길이 방향으로는 밀 수 없다. 1.4절의 특이점이다.

잠깐, 생각해 보기. 첫 열 (−10s₁ − 8s₁₂, 10c₁ + 8c₁₂)를 손끝 위치 (x, y)와 견주어 보자. 무엇이 보이나?

첫 열은 (−y, x)다. 강의도 이 점을 짚는다. (x, y)를 90° 돌린 화살표라서, 어깨에서 손끝까지 그은 선과 수직이고 길이도 같다.

어깨가 돌면 손끝은 어깨를 중심으로 원을 그린다. 그 원의 접선 방향이 첫 열이다. 6.6절에서 이것이 외적이라는 것을 본다.

숫자로 해 보기

θ₁ = 30°, θ₂ = 60°이면 s₁ = 0.5, c₁ ≈ 0.866, s₁₂ = sin 90° = 1, c₁₂ = 0이다. 손끝은 (8.66, 13) cm다.

첫 열이 (−y, x) = (−13, 8.66)으로 맞는다. 어깨를 0.5 rad/s, 팔꿈치를 1 rad/s로 돌리면 손끝 속도는 이렇다.

그림 6-3의 처음 값이 바로 이 자세와 속도다.

알아 두기. 단위를 보자. θ̇는 rad/s, J의 칸은 cm/rad, ẋ는 cm/s다. 관절 속도를 °/s로 받았다면 먼저 π/180을 곱해 rad/s로 바꾼다. 서보 사양표의 "60°에 0.1초"는 초당 600°, 약 10.5 rad/s다.

작을 때만 맞는다

δx = J δθ는 변화가 작을 때의 근사다. 실제 손끝은 원호를 따라 휘어 가는데, J는 지금 이 순간의 접선 방향만 안다. 아래 그림에서 얼마나 벌어지는지 보자.

두 관절을 1°씩 돌리면 예측과 실제의 차이는 0.006 cm(1.5%)다. 10°씩이면 0.57 cm(15%), 30°씩이면 4.9 cm(46%)까지 벌어진다.

그래서 자세가 바뀌면 J를 새로 계산한다. "순간" 기구학이라는 이름이 여기서 나온다.

거꾸로 쓰기: 손끝을 조금 옮기고 싶을 때

로봇에게는 보통 거꾸로 묻는다. "손끝을 이만큼 옮기려면 관절을 얼마나 돌려야 하나?" J의 역행렬 J⁻¹(2.7절)을 쓰면 δθ = J⁻¹ δx다. 강의에 따르면 많은 산업용 로봇이 이렇게 작은 걸음을 이어 붙여 손끝을 움직인다.

위 자세에서 손끝을 왼쪽(−x)으로 0.4 cm 옮기고 싶다고 하자. 둘째 열이 (−8, 0)이라서 팔꿈치만 0.05 rad(약 2.9°) 더 돌리면 된다. 역행렬로 계산해도 같은 답이 나온다(연습문제 3). 그림 6-3에서 팔을 쭉 펴면 역행렬이 없어 이 방법이 막힌다. 7장에서 다룬다.

영상에서 보기: 18:01 2관절 평면 팔 예제 · 19:37 첫 열은 (−y, x) · 20:40 역행렬로 로봇 움직이기

6.4 강의 예제: Scheinman 팔의 위치 자코비안

이제 3차원 팔로 넓힌다. 강의는 5강에서 순기구학을 구한 스탠퍼드 Scheinman 팔을 다시 쓴다(5장). 관절 6개 가운데 셋째가 직동 관절이다. 앞의 세 관절이 손목을 옮기고, 뒤의 세 관절은 축이 한 점에서 만나 손목을 돌린다.

손끝 위치로는 세 손목 축이 만나는 손목점(5장의 손목 중심)을 잡는다. 강의 유인물의 순기구학에서 손목점은 이렇다. d₂는 어깨가 옆으로 비켜난 간격, d₃는 팔이 늘어난 길이다.

여섯 관절 변수 q = (θ₁, θ₂, d₃, θ₄, θ₅, θ₆)로 차례로 편미분한다.

• 1열(θ₁로): (−s₁s₂d₃ − c₁d₂, c₁s₂d₃ − s₁d₂, 0) = (−y, x, 0)이다. 종이 팔의 첫 열과 같은 모양이다. 받침 축 z₀ 둘레로 수평으로 도는 원의 접선이다.
• 2열(θ₂로): (c₁c₂d₃, s₁c₂d₃, −s₂d₃)이다. 팔이 숙여지는 방향이고 길이는 d₃다.
• 3열(d₃로): (c₁s₂, s₁s₂, c₂)이다. 팔이 뻗은 방향의 단위벡터다. 직동 관절은 손목점을 팔 방향으로 곧게 민다.
• 4~6열: 모두 0이다. 손목을 돌려도 손목점은 제자리다.

2열의 길이가 d₃인 까닭도 그림에서 보인다. θ₂만 돌면 손목점은 어깨 축을 중심으로 반지름 d₃인 원을 그린다. 팔을 길게 뺄수록 같은 θ̇₂에 손목이 빨리 움직인다.

방향은?

위치는 쉬웠다. 방향은 어떨까.

2장처럼 회전행렬의 세 열 r₁, r₂, r₃(방향 코사인)로 적으면 숫자가 9개다. 9개를 관절 변수 6개로 하나하나 편미분하면 9×6, 위치와 합치면 12×6 행렬이 된다.

교수는 "5분 줄 테니 해 보라"고 했다가 곧 거둔다. 칸이 너무 많기도 하지만, 더 큰 문제가 있다.

다 구해도 그 행렬에서 팔의 성질을 읽어 내기 어렵다. 다음 절에서 그 까닭을 본다.

영상에서 보기: 21:18 Scheinman 팔 · 22:22 첫 열 구하기 · 25:37 4~6열은 0 · 26:08 방향 코사인을 미분하면

6.5 적는 방법이 끼어든다: 기본 자코비안

방향 좌표를 그대로 미분해 만든 자코비안에는 우리가 고른 표현(representation)의 성질이 섞여 든다. 행렬의 크기도 표현에 따라 바뀐다. 문제를 평면에서 먼저 보자.

평면에서 보는 같은 문제

종이 팔의 손끝을 (x, y) 대신 극좌표 (r, φ)로 적었다고 하자. r은 받침에서의 거리, φ는 받침에서 본 방향 각이다. (r, φ)를 θ로 편미분해도 자코비안은 나온다. 그런데 그 변화율 (ṙ, φ̇)는 손끝의 속도가 아니다.

ṙ은 속도를 받침 쪽 방향에 내린 그림자(내적, 2.6절)다. φ̇는 그와 수직인 방향의 그림자를 r로 나눈 것이다. 둘을 행렬로 쓰면 이렇다.

손끝 속도가 그대로여도 r이 0에 다가가면 φ̇는 끝없이 커진다. r = 0에서는 φ를 정할 수조차 없다.

팔에는 아무 문제가 없다. 우리가 고른 적는 방법의 문제이고, 3장에서 본 "표현의 특이점"과 같은 일이다.

3차원 방향은 더 그렇다

3장의 오일러 각 (α, β, γ)도 마찬가지다. 변화율 (α̇, β̇, γ̇)는 각속도 ω가 아니다. 세 회전은 서로 다른 축을 쓰고, 그 축들이 각도에 따라 움직이기 때문이다.

둘은 각도에만 달린 3×3 행렬 E_R로 이어진다. 이 행렬에는 표현의 특이점에서 0으로 나누는 칸이 생긴다.

3장의 Z-Y-X 오일러 각이라면 cos β = 0(짐벌 잠금)일 때다. 강의 유인물이 쓴 다른 순서의 오일러 각에서는 sin β = 0일 때다. 그 자세에서 팔은 멀쩡히 움직여도 각도의 변화율은 정할 수 없다.

잠깐, 생각해 보기. 종이 팔의 손 방향은 각도 하나 φ = θ₁ + θ₂다. 이때 φ̇는 각속도 ω와 같을까?

같다. 평면에서는 모든 회전이 책상에 수직인 같은 축(z)을 쓴다. 각도가 그냥 더해지므로 φ̇ = θ̇₁ + θ̇₂ = ω_z다.

3차원에서는 축이 저마다 달라서 이렇게 되지 않는다.

해결: 표현과 상관없는 J₀

그래서 강의는 표현을 빼고, 손끝의 움직임 그 자체인 v와 ω로 자코비안을 정한다. 이것을 기본 자코비안(basic Jacobian) J₀라 한다. 위 세 줄 J_v는 선속도, 아래 세 줄 J_ω는 각속도를 맡는다.

어떤 표현 x = (x_P, x_R)를 쓰든, 그 변화율은 v, ω와 행렬로 이어진다. ẋ_P = E_P v, ẋ_R = E_R ω다. 그래서 그 표현의 자코비안 J_x는 J₀ 앞에 E를 곱하면 나온다.

• 위치를 직교 좌표 (x, y, z)로 적으면 E_P는 단위행렬이다. 위치의 변화율이 곧 선속도다.
• 원통 좌표, 구면 좌표의 E_P와 오일러 각의 E_R는 한 번 구해 표로 두고 꺼내 쓴다. 팔과는 상관없이 표현만으로 정해진다.

종이 팔의 기본 자코비안은 v_x, v_y, ω_z 세 줄짜리 3×2 행렬이다(나머지 줄은 0). θ₁ = 30°, θ₂ = 60°에서는 이렇다.

앞으로 "자코비안"이라 하면 J₀를 뜻하고, 0을 떼고 J로 쓴다. 남은 일은 v와 ω를 q̇로 적는 것이다. 다음 두 절에서 그 도구인 외적을 준비한다.

영상에서 보기: 28:17 표현이 섞여 든다 · 29:52 기본 자코비안: v와 ω · 30:55 각도의 미분은 각속도가 아니다 · 33:30 J_x = E J₀ · 37:20 오일러 각의 특이점

6.6 점의 속도: 더하기와 ω × p

v와 ω를 관절 속도로 적으려면 먼저 점 하나의 속도를 제대로 다뤄야 한다. 움직이는 것 위에서 또 움직이는 점, 그리고 도는 물체 위의 점이다.

무엇에 대해 잰 속도인가

속도를 말할 때는 두 가지를 구분한다. 하나는 무엇에 대해 잰 속도인가이고, 다른 하나는 그 화살표를 어느 좌표계의 숫자로 적었나다.

강의는 v_P/A처럼 써서 "{A}에 대해 잰 점 P의 속도"를 밝힌다. 이 화살표 하나를 {A}의 숫자로도, {B}의 숫자로도 적을 수 있다.

무빙워크가 바닥에 대해 1 m/s로 가고, 그 위에서 사람이 1.5 m/s로 걷는다. 바닥에 대한 사람의 속도는 2.5 m/s다. {A}가 돌지 않고 옮겨 가기만 하면 속도는 그냥 더한다.

각속도는 화살표다

각속도 ω도 화살표 하나로 적는다. 방향은 회전축이고, 길이는 도는 빠르기(rad/s)다.

축의 어느 쪽을 가리킬지는 오른손으로 정한다. 오른손 네 손가락을 도는 방향으로 감으면 엄지가 ω의 방향이다. 책상 위에서 반시계 방향으로 도는 종이 팔의 링크는 ω가 책상 위쪽(+z)을 향한다.

도는 물체 위의 점

사과를 꼬챙이에 꿰어 돌린다고 하자. 꼬챙이 위의 점은 움직이지 않는다. 꼬챙이에서 멀리 있는 점일수록 빨리 돈다. 점 P의 속도를 구하려면, 축 위에 움직이지 않는 원점 O를 잡고 P까지 화살표 p를 긋는다.

그림에서 세 가지를 읽는다.

1. 속력은 |ω|에 비례한다. 빨리 돌수록 빠르다.
2. 속력은 축까지의 거리에 비례한다. 그 거리는 |p| sin φ다(φ는 축과 p 사이의 각).
3. 방향은 ω와도, p와도 수직이다. 점은 원의 접선 방향으로 간다.

크기가 |ω| |p| sin φ이고, 방향이 두 화살표 모두에 수직이다. 이 둘을 한꺼번에 해 주는 계산이 외적이다.

수학 더하기: 외적. 두 3차원 벡터 a, b의 외적(cross product) a × b는 벡터다. 방향은 a와 b 모두에 수직이고, 오른손 네 손가락을 a에서 b 쪽으로 감을 때 엄지 쪽이다. 길이는 |a| |b| sin φ로, a와 b가 만드는 평행사변형의 넓이와 같다(그림 6-8).

계산은 a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)다. 예: x 방향 (1, 0, 0) × y 방향 (0, 1, 0) = (0, 0, 1), z 방향이다.

순서를 바꾸면 방향이 뒤집힌다(b × a = −a × b). 나란한 두 벡터의 외적은 0이다.

그래서 도는 물체 위의 점의 속도는 한 줄로 적힌다.

순서가 중요하다. ω × p이지 p × ω가 아니다. 거꾸로 쓰면 방향이 반대가 된다.

8장에서는 힘으로 토크를 만드는 τ = p × F가 나온다. 거기서는 p가 앞에 온다.

숫자로 해 보자. ω = (0, 0, 2) rad/s이고 p = (3, 1, 0) cm다.

속력은 √40 ≈ 6.32 cm/s다. p가 축과 수직이라 sin φ = 1이고, 2 × |p| = 2 × √10과 같다.

잠깐, 생각해 보기. 지구는 자전한다. 북극점에 선 사람의 속도는 얼마일까? 적도에 선 사람은?

북극점은 자전축 위에 있어서 속도가 0이다. 적도는 축에서 가장 멀어 가장 빠르다. 하루에 둘레 약 4만 km를 돌아서 시속 약 1,670 km다.

종이 팔에서 다시 보기

종이 팔의 어깨만 θ̇₁로 돌면 ω = (0, 0, θ̇₁)이다. 손끝 p = (x, y, 0)의 속도는 다음과 같다.

6.3절에서 편미분으로 구한 첫 열 (−y, x)가 그대로 나왔다.

영상에서 보기: 39:57 무엇에 대해 잰 속도인가 · 42:08 속도는 더한다 · 43:13 축 위의 점은 움직이지 않는다 · 47:27 ω × p, p × ω가 아니다

6.7 외적을 행렬로, 이동과 회전을 함께

외적은 계산하기 쉽지만 행렬 식 속에 넣기는 불편하다. 그래서 "a ×"를 행렬 하나로 바꿔 둔다. 이것을 외적 연산자(cross product operator)라 하고, 글자 위에 모자를 씌워 â로 쓴다.

â b를 행과 곱해 보면 외적 계산 규칙과 칸 하나하나가 같다. 이 행렬은 모양이 특별하다.

• 대각선이 모두 0이다.
• 대각선을 사이에 두고 마주 보는 칸은 부호만 반대다. 그래서 전치하면 부호가 뒤집힌다: âᵀ = −â. 이런 행렬을 반대칭 행렬(skew-symmetric matrix)이라 한다.

6.6절의 예를 행렬로 다시 하면 같은 답이 나온다.

알아 두기. 평면에서 ω = (0, 0, ω)이면 ω̂의 왼쪽 위 2×2는 [[0, −ω], [ω, 0]]이다. 2.5절의 90° 회전행렬 [[0, −1], [1, 0]]에 ω를 곱한 것이다.

평면에서 "ω ×"는 "90° 돌리고 ω배 늘이기"와 같다. 종이 팔의 첫 열 (−y, x)가 (x, y)를 90° 돌린 것인 까닭이다.

이동과 회전을 함께

이제 {A}가 {B}에 대해 옮겨 가면서 돌기도 한다고 하자. {A}의 원점은 v_A/B로 가고, {A}는 각속도 Ω로 돈다. 점 P는 {A} 안에서 v_P/A로 움직이고, {A}의 원점에서 P까지가 p다. {B}에서 본 P의 속도는 세 몫의 합이다.

첫 몫은 원점이 옮겨 가는 것, 둘째는 P가 {A} 안에서 움직이는 것, 셋째는 {A}가 돌면서 P를 끌고 가는 것이다. 숫자로 계산할 때는 세 화살표를 같은 좌표계의 숫자로 맞춘다. {B}의 숫자로 적으면 이렇다.

예를 들어 턴테이블이 바닥에 대해 0.5 rad/s로 돈다. 중심에서 4 cm인 곳에서 개미가 바깥쪽으로 1 cm/s로 걷는다.

중심은 움직이지 않으니 첫 몫은 0이고, 둘째 몫은 바깥쪽 1 cm/s다. 셋째 몫은 원 둘레 방향으로 0.5 × 4 = 2 cm/s다. 바닥에서 본 개미의 속력은 √(1² + 2²) ≈ 2.24 cm/s다.

알아 두기. 더하는 화살표는 모두 같은 좌표계의 숫자로 적어야 한다. {A}의 숫자로 적힌 것은 회전행렬을 곱해 {B}의 숫자로 바꾼 뒤 더한다. 2.8절의 "더하기 전에 같은 방향으로 돌려 놓는다"와 같은 규칙이다.

영상에서 보기: 48:28 외적을 행렬로 · 49:02 반대칭 행렬 · 50:37 이동과 회전을 함께 · 51:10 같은 좌표계로 맞추기

6.8 링크에서 링크로: 속도 전파

이제 팔에 적용한다. 받침은 멈춰 있다. 링크 1은 관절 1만큼 돌고, 링크 2는 링크 1에 실려 가면서 관절 2만큼 더 돈다.

받침에서 시작해 링크마다 v와 ω를 한 칸씩 넘기면 손끝의 v와 ω가 나온다. 이것을 속도 전파(velocity propagation)라 한다.

규칙 두 개

좌표계 {i}의 원점 속도 v_i와 링크 i의 각속도 ω_i를 안다고 하자. p_i+1은 {i}의 원점에서 {i+1}의 원점까지의 화살표, Ẑ_i+1은 관절 i+1의 축 방향(길이 1)이다.

• 각속도: 앞 링크의 ω에 이번 관절의 회전 θ̇Ẑ를 더한다. 직동 관절이면 더할 것이 없다.
• 선속도: 앞 원점의 속도에, 앞 링크가 돌아서 생기는 몫 ω_i × p_i+1을 더한다. 직동 관절이면 축 방향으로 미는 몫 ḋẐ도 더한다.
• 출발: 받침은 멈춰 있으므로 v₀ = 0, ω₀ = 0이다.

θ̇_i+1Ẑ_i+1은 내적이 아니다. 숫자 θ̇를 화살표 Ẑ에 곱한 것이다. 강의에서 학생이 헷갈려 물은 부분이다.

잠깐, 생각해 보기. 선속도 식에는 왜 ω_i+1이 아니라 ω_i가 들어갈까?

{i+1}의 원점은 관절 i+1의 축 위에 있다(4장의 좌표계 붙이는 규칙). 6.6절의 꼬챙이처럼, 축 위의 점은 그 축으로 돌아도 움직이지 않는다. 그래서 관절 i+1의 회전은 그 원점의 속도를 바꾸지 못하고, 앞 링크의 회전 ω_i만 영향을 준다.

종이 팔로 해 보기

어깨에 {1}, 팔꿈치에 {2}, 손끝에 {3}을 둔다. 손끝에는 관절이 없으니 {3}은 링크 2에 붙어 같이 간다. 모든 축은 책상에 수직인 ẑ이고, 화살표는 모두 받침 {0}의 숫자로 적는다.

1. 링크 1: ω₁ = θ̇₁ ẑ다. 어깨는 받침 축 위라 v₁ = 0이다.
2. 팔꿈치: v₂ = v₁ + ω₁ × p₁₂ = θ̇₁ (−10s₁, 10c₁)다. 링크 2는 ω₂ = (θ̇₁ + θ̇₂) ẑ로 돈다.
3. 손끝: v₃ = v₂ + ω₂ × p₂₃ = θ̇₁ (−10s₁, 10c₁) + (θ̇₁ + θ̇₂)(−8s₁₂, 8c₁₂)다. 관절이 없으니 ω₃ = ω₂다.

v₃를 θ̇₁, θ̇₂끼리 묶어 정리하면 이렇다.

ω_3z는 ω₃의 z 성분이다(x, y 성분은 0). 6.3절의 J, 6.5절의 맨 아래 줄 (1, 1)과 똑같다. 자코비안은 속도 전파의 식 속에 숨어 있다. θ̇를 밖으로 꺼내면 남는 것이 J의 열이다.

그림 6-3과 슬라이더 값을 같게 두면 검은 화살표도 같다. 그림 6-3은 손끝 속도를 관절별로 나누고, 그림 6-9는 링크별로 나눈다. 나누는 방법만 다르고 합은 같다.

잠깐, 생각해 보기. θ̇₁ = 1, θ̇₂ = −1 rad/s로 두면 링크 2는 어떻게 움직일까? 손끝 속도는?

ω₂ = 1 − 1 = 0이라서 링크 2는 돌지 않고 방향을 지킨 채 옮겨 간다. 주황 몫이 0이 되어 손끝 속도는 팔꿈치 속도와 같다. θ₁ = 30°이면 (−5, 8.66) cm/s이고, J에 (1, −1)을 곱해도 같다.

좌표계마다 적기 (강의의 식)

위에서는 모든 화살표를 받침 {0}의 숫자로 적었다. 강의의 식은 링크마다 자기 좌표계 {i+1}의 숫자로 적어 가며 넘긴다. 그러면 Ẑ_i+1이 늘 (0, 0, 1)이고, 앞 링크의 숫자는 회전행렬로 돌려서 가져온다.

회전 관절이면 첫 식의 θ̇ 항만, 직동 관절이면 둘째 식의 ḋ 항만 남는다. 끝까지 넘긴 뒤 ⁿv_n, ⁿω_n에 회전행렬 ⁰_nR을 곱하면 받침 {0}의 숫자가 된다. 교수는 계산이 가장 가벼운 곳은 받침도 끝도 아닌 팔의 가운데라고 덧붙인다.

알아 두기. 속도 전파는 컴퓨터로 숫자를 구하기에 좋다. 하지만 J가 식 속에 숨어 있어서 "어느 관절이 손끝을 어떻게 미는가"가 한눈에 보이지 않는다. 7장의 명시적 형태(explicit form)는 J의 열을 관절마다 바로 적는다.

영상에서 보기: 52:53 속도 전파 · 55:38 ω_i × p_i+1이 들어가는 까닭 · 58:16 각속도 넘기기 · 1:05:09 자코비안은 어디 있나

6.9 강의 예제: 관절 3개짜리 평면 팔

강의 끝의 예제는 관절 3개짜리 평면 팔(l₁, l₂, l₃)이다. 2장의 3관절 팔(8 cm, 7 cm, 5 cm)로 같은 계산을 해 보자. 세 관절축이 모두 책상에 수직인 ẑ이다.

각속도는 그냥 더해진다

관절마다 같은 축으로 더 돌 뿐이라 ω는 세 관절 속도의 합이다.

J_ω의 세 열이 모두 (0, 0, 1)이다. 교수는 "이 (0, 0, 1)은 무엇인가?"라고 묻는다. 각 관절축 Ẑ_i의 방향 그 자체다. 회전 관절 i는 손끝을 자기 축 Ẑ_i 둘레로 θ̇_i만큼 돌린다.

선속도는 관절에서 손끝까지의 화살표로

속도 전파를 한 칸씩 하면 손끝 속도는 다음과 같다. p₁₂, p₂₃, p₃₄는 첫째, 둘째, 셋째 링크를 따라 그은 화살표다.

θ̇끼리 묶으면 열마다 깔끔한 모양이 된다.

• 1열 = ẑ × (관절 1에서 손끝까지의 화살표)
• 2열 = ẑ × (관절 2에서 손끝까지의 화살표)
• 3열 = ẑ × (관절 3에서 손끝까지의 화살표)

자세 θ = (0°, 90°, −90°)로 확인하자. 관절은 (0, 0), (8, 0), (8, 7)에 있고 손끝은 (13, 7)이다. 관절에서 손끝까지의 화살표는 (13, 7), (5, 7), (5, 0)이다. ẑ × (x, y) = (−y, x)이므로 다음과 같다.

손끝 식 x = 8c₁ + 7c₁₂ + 5c₁₂₃를 직접 편미분해도 같은 숫자가 나온다(파이썬 확인 코드). 강의 유인물은 손끝이 아니라 셋째 관절 자리의 속도를 구한다. 그래서 J_v의 셋째 열이 0이다. 셋째 관절은 자기 축 위의 점을 움직이지 못하기 때문이다.

회전 관절이면 "열 i = 관절 i의 축 × (관절 i에서 손끝까지)"가 3차원 팔에서도 그대로 통한다. 직동 관절의 열은 축 방향 그 자체다(6.4절의 3열). 7장에서는 이 모양을 써서 Scheinman 팔의 J를 보자마자 열마다 적는다. 이것으로 6강 내용이 끝난다.

영상에서 보기: 1:07:20 3관절 팔 예제 · 1:08:25 ω는 세 회전의 합 · 1:08:58 (0, 0, 1)은 Z 벡터

6.10 연습문제

각도는 라디안으로 바꿔 계산한다. 답은 문제 8개 아래에 있다. 답을 보기 전에 손으로 끝까지 풀어 본다.

1. f(θ₁, θ₂) = 3 sin θ₁ + 2 cos(θ₁ + θ₂)다. ∂f/∂θ₁과 ∂f/∂θ₂를 구하고, θ₁ = θ₂ = 0에서의 값을 구하라.
2. 종이 팔이 θ₁ = 0°, θ₂ = 90°에 있다.
   1. J를 구하라.
   2. θ̇ = (0.5, −0.5) rad/s일 때 손끝 속도를 구하라.
   3. 손끝 속도를 (−8, 0) cm/s로 만드는 θ̇는 무엇인가?
3. 6.3절의 자세(θ₁ = 30°, θ₂ = 60°)에서 J⁻¹을 구하고, 손끝을 δx = (−0.4, 0) cm 옮길 δθ를 구하라. 2×2 역행렬은 [[a, b], [c, d]]⁻¹ = 1/(ad − bc) × [[d, −b], [−c, a]]다.
4. 종이 팔을 θ₁ = 0°, θ₂ = 0°로 쭉 폈다. J를 구하라. 손끝을 x 방향으로 움직일 수 있나? J⁻¹은 있나?
5. a = (1, 2, 0), b = (0, 1, 3)이다. a × b를 구하고, â를 써서 â b가 같은 답인지 확인하라. 답이 a, b와 수직인지 내적으로 확인하라.
6. 물체가 z축 둘레로 ω = (0, 0, 3) rad/s로 돈다. 물체 위의 점 p = (2, 0, 5) cm의 속도를 구하라. 속력이 3 × |p|가 아닌 까닭은?
7. 종이 팔이 θ₁ = 90°, θ₂ = −90°에 있고, θ̇ = (1, 1) rad/s다. 속도 전파로 팔꿈치 속도 v₂, 링크 2의 각속도 ω₂, 손끝 속도 v₃를 차례로 구하라. J θ̇와 같은지 확인하라.
8. Scheinman 팔이 θ₁ = 0°, θ₂ = 90°, d₂ = 5 cm, d₃ = 20 cm에 있다. 손목점 p와 J_v의 1~3열을 구하고, 열마다 뜻을 말하라.

답

답 1. ∂f/∂θ₁ = 3 cos θ₁ − 2 sin(θ₁ + θ₂), ∂f/∂θ₂ = −2 sin(θ₁ + θ₂)다. θ₂를 편미분할 때 3 sin θ₁은 숫자로 보므로 0이 된다. θ₁ = θ₂ = 0에서는 각각 3과 0이다.

답 2. s₁ = 0, c₁ = 1, s₁₂ = 1, c₁₂ = 0이다. 1열 = (−0 − 8, 10 + 0) = (−8, 10), 2열 = (−8, 0)이다.

(−8, 0)은 둘째 열 그대로다. 그러니 θ̇ = (0, 1), 곧 팔꿈치만 1 rad/s로 돌린다. 둘째 행 10 θ̇₁ = 0에서 θ̇₁ = 0을 먼저 얻어도 된다.

답 3. ad − bc = (−13)(0) − (−8)(8.66) = 69.28이다.

δθ = J⁻¹ (−0.4, 0) = (0 × (−0.4), −0.125 × (−0.4)) = (0, 0.05) rad다. 팔꿈치만 약 2.9° 더 돌린다. 6.3절에서 둘째 열 (−8, 0)을 보고 바로 얻은 답과 같다.

답 4. s₁ = s₁₂ = 0, c₁ = c₁₂ = 1이라 J = [[0, 0], [18, 8]]이다. 두 열이 모두 y 방향이라서 v_x는 언제나 0이다. x 방향으로는 움직일 수 없다.

ad − bc = 0 × 8 − 0 × 18 = 0이라 역행렬도 없다. 이런 자세가 특이점이고 7장에서 다룬다.

답 5. a × b = (2·3 − 0·1, 0·0 − 1·3, 1·1 − 2·0) = (6, −3, 1)이다. â와 곱도 같다.

a·(6, −3, 1) = 6 − 6 + 0 = 0, b·(6, −3, 1) = 0 − 3 + 3 = 0이다. 둘 다와 수직이다.

답 6. ω × p = (0·5 − 3·0, 3·2 − 0·5, 0·0 − 0·2) = (0, 6, 0) cm/s다. 속력 6은 3 × (축까지의 거리 2)다.

|p| = √29 ≈ 5.39이지만 p의 z 성분 5는 축을 따라가는 부분이라 속도에 보태지 않는다. 축까지의 거리 |p| sin φ가 2다.

답 7. 팔꿈치는 (0, 10), 손끝은 (8, 10)에 있다.

• ω₁ = (0, 0, 1)이고 v₂ = ω₁ × (0, 10, 0) = (−10, 0, 0)이다.
• ω₂ = ω₁ + θ̇₂ ẑ = (0, 0, 2)다.
• v₃ = v₂ + ω₂ × (8, 0, 0) = (−10, 0, 0) + (0, 16, 0) = (−10, 16, 0) cm/s다.

확인: s₁ = 1, c₁ = 0, s₁₂ = 0, c₁₂ = 1이라 J = [[−10, 0], [8, 8]]이다. J (1, 1) = (−10, 16)으로 같다.

답 8. c₁ = 1, s₁ = 0, c₂ = 0, s₂ = 1이다.

• p = (1·1·20 − 0, 0 + 1·5, 0) = (20, 5, 0) cm. 팔이 x 방향으로 수평으로 뻗어 있다.
• 1열 = (−y, x, 0) = (−5, 20, 0). 받침 축 둘레로 수평으로 돌며, (20, 5)와 수직이다.
• 2열 = (c₁c₂d₃, s₁c₂d₃, −s₂d₃) = (0, 0, −20). θ₂가 늘면 수평인 팔이 아래로 숙여진다. 1 rad/s에 20 cm/s다.
• 3열 = (c₁s₂, s₁s₂, c₂) = (1, 0, 0). d₃가 늘면 손목점이 팔 방향(x)으로 곧게 나간다.

파이썬으로 확인

파이썬(numpy)이 있으면 아래를 붙여 넣어 돌려 본다. 주석의 값이 그대로 나온다. -0.은 아주 작은 계산 오차로 생긴 0이다.

num_jac는 관절 하나만 아주 조금 움직여 편미분을 숫자로 어림한다. 손으로 구한 J를 검사할 때 쓰면 좋다.

import numpy as np

D = np.pi / 180  # 도 → 라디안

def hand(q, l=(10, 8)):
    """평면 팔의 손끝 위치. q는 관절 각도(라디안), l은 링크 길이."""
    a = np.cumsum(q)                       # θ1, θ1+θ2, θ1+θ2+θ3, ...
    return np.array([np.sum(np.multiply(l, np.cos(a))), np.sum(np.multiply(l, np.sin(a)))])

def jac(t1, t2):
    """6.3절에서 손으로 구한 종이 팔의 자코비안."""
    s1, c1, s12, c12 = np.sin(t1), np.cos(t1), np.sin(t1 + t2), np.cos(t1 + t2)
    return np.array([[-10 * s1 - 8 * s12, -8 * s12],
                     [10 * c1 + 8 * c12, 8 * c12]])

def num_jac(f, q, h=1e-6):
    """편미분을 숫자로: 관절 하나만 앞뒤로 h씩 움직여 손끝 변화를 2h로 나눈다."""
    q = np.asarray(q, float)
    cols = []
    for j in range(len(q)):
        dq = np.zeros_like(q)
        dq[j] = h
        cols.append((f(q + dq) - f(q - dq)) / (2 * h))
    return np.column_stack(cols)

def hat(a):
    """외적 연산자: hat(a) @ b == np.cross(a, b)."""
    return np.array([[0, -a[2], a[1]], [a[2], 0, -a[0]], [-a[1], a[0], 0]])

np.set_printoptions(precision=2, suppress=True)

# 6.3 손으로 구한 J와 숫자로 구한 J
q = np.array([30, 60]) * D
print(jac(*q))                              # [[-13.    -8.  ] [  8.66   0.  ]]
print(num_jac(hand, q))                     # [[-13.    -8.  ] [  8.66   0.  ]]
print(jac(*q) @ [0.5, 1.0])                 # [-14.5    4.33]
# 6.3 작을 때만 맞는다: 두 관절을 같은 각도씩 더 돌린다
for deg in (1, 10, 30):
    dq = np.array([deg, deg]) * D
    real, pred = hand(q + dq) - hand(q), jac(*q) @ dq
    print(deg, round(np.linalg.norm(real - pred), 3))   # 1 0.006 / 10 0.57 / 30 4.891

# 문제 2~4
J = jac(0, 90 * D)
print(J, J @ [0.5, -0.5])                   # [[-8. -8.] [10.  0.]] [0. 5.]
print(np.linalg.solve(J, [-8, 0]))          # [-0.  1.]
print(np.linalg.inv(jac(*q)))               # [[ 0.    0.12] [-0.13 -0.19]]
print(np.linalg.inv(jac(*q)) @ [-0.4, 0])   # [-0.    0.05]
print(jac(0, 0), np.linalg.det(jac(0, 0)))  # [[-0. -0.] [18.  8.]] 0.0

# 문제 5~6 외적
a, b = np.array([1, 2, 0]), np.array([0, 1, 3])
print(np.cross(a, b), hat(a) @ b)           # [ 6 -3  1] [ 6 -3  1]
print(a @ np.cross(a, b), b @ np.cross(a, b))  # 0 0
print(np.cross([0, 0, 3], [2, 0, 5]))       # [0 6 0]

# 문제 7 속도 전파 (모든 화살표를 받침 {0}의 숫자로)
def propagate(t1, t2, w1, w2):
    z = np.array([0, 0, 1.0])
    p12 = 10 * np.array([np.cos(t1), np.sin(t1), 0])
    p23 = 8 * np.array([np.cos(t1 + t2), np.sin(t1 + t2), 0])
    w_1 = w1 * z                            # 링크 1의 각속도
    v_2 = np.cross(w_1, p12)                # 팔꿈치: v1 = 0 에 ω1 × p12
    w_2 = w_1 + w2 * z                      # 링크 2의 각속도
    v_3 = v_2 + np.cross(w_2, p23)          # 손끝
    return v_2, w_2, v_3
print(*propagate(90 * D, -90 * D, 1, 1))    # [-10.   0.   0.] [0. 0. 2.] [-10.  16.   0.]
print(jac(90 * D, -90 * D) @ [1, 1])        # [-10.  16.]

# 6.9 관절 3개 평면 팔 (8, 7, 5 cm)
print(num_jac(lambda q: hand(q, (8, 7, 5)), np.array([0, 90, -90]) * D))  # [[-7. -7.  0.] [13.  5.  5.]]

# 문제 8 Scheinman 팔의 손목점 (d2 = 5, d3 = 20 cm)
def wrist(q, d2=5):
    t1, t2, d3 = q
    return np.array([np.cos(t1) * np.sin(t2) * d3 - np.sin(t1) * d2,
                     np.sin(t1) * np.sin(t2) * d3 + np.cos(t1) * d2,
                     np.cos(t2) * d3])
qs = np.array([0, 90 * D, 20])
print(wrist(qs))                            # [20.  5.  0.]
print(num_jac(wrist, qs))                   # [[ -5.   0.   1.] [ 20.   0.   0.] [  0. -20.   0.]]

스탠퍼드 숙제

스탠퍼드 강의 페이지의 Homework 3에서 1번(주어진 변환행렬로 기본 자코비안 구하기)과 2번 (a)(b)(평면 PR 팔의 2×2 자코비안)는 이 장으로 풀 수 있다. 1번의 J_ω는 6.8~6.9절처럼 회전 관절의 Ẑ 축을 모으면 된다. 직동 관절은 각속도에 보태지 않는다.

2번 (c)와 3번 (d)~(f)의 특이점은 7장을 배운 뒤에 푼다. 3번 (a)(b)는 4~5장의 DH 표와 순기구학이다. 풀이는 같은 페이지의 Solution 3에 있다.

다 풀었으면 6강 영상을 한 번 본다.